一、知识要点
1. 质数与合数的定义
质数（素数）：一个大于1的自然数，除了1和它本身，不再有其他因数。
例如：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37…
合数：一个大于1的自然数，除了1和它本身，还有其他因数。
例如：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20、21…
1：既不是质数也不是合数。
2：唯一的偶质数。所有大于2的质数都是奇数。
2. 判断一个数是否为质数的方法
3. 分解质因数
把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。通常写成幂的形式。
方法：用短除法，从最小的质数开始试除，直到商是质数为止。
例如：分解60。
60÷2=30,30÷2=15,15÷3=5
5是质数，所以：
60=22×3×5
4. 约数个数公式
如果一个自然数分解质因数为：
N=p1a1×p2a2×⋯×pkak
其中 p1,p2,…,pk 是不同的质数，a1,a2,…,ak是正整数。
那么 N的约数个数为：
(a1+1)×(a2+1)×⋯×(ak+1)
例如：60=22×31×51，约数个数 = (2+1)×(1+1)×(1+1)=3×2×2=12。
5. 约数和公式
NN 的所有约数之和为：
(1+p1+p12+⋯+p1a1)×(1+p2+⋯+p2a2)×⋯×(1+pk+⋯+pkak)
例如：60=22×31×51，约数和 = (1+2+4)×(1+3)×(1+5)=7×4×6=168。
6. 重要结论
质数有无穷多个。
任何大于1的自然数都可以唯一地分解为质因数的乘积（不计顺序）。
如果两个数的最大公因数是1，称它们互质。
除2以外，所有质数都是奇数。
两个质数的和是偶数时，这两个质数要么都是奇数，要么有一个是2。
7. 解题关键
熟记常见质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
利用平方根：判断质数时，只需要试除到平方根即可。
分解质因数：是解决很多数论问题的基础。
奇偶性分析：在涉及质数的问题中，经常用到奇偶性。
二、例题精讲
【基础篇】
例1 判断下列各数是质数还是合数：23、27、31、39、43、51。
分析：
判断一个数是不是质数，就用小于等于它的平方根的质数去除它。
解答：
(1) 23
用质数2、3去除：
23 ÷ 2 = 11.5，不能整除
23 ÷ 3 ≈ 7.67，不能整除
所以23是质数。
(2) 27
27÷3=9
能整除，所以27是合数（27 = 3 × 9）。
(3) 31
用质数2、3、5去除：
31 ÷ 2 = 15.5，不能整除
31 ÷ 3 ≈ 10.33，不能整除
31 ÷ 5 = 6.2，不能整除
所以31是质数。
(4) 39
39÷3=13
能整除，所以39是合数（39 = 3 × 13）。
(5) 43
用质数2、3、5、7去除：
43 ÷ 2 = 21.5，不能整除
43 ÷ 3 ≈ 14.33，不能整除
43 ÷ 5 = 8.6，不能整除
43 ÷ 7 ≈ 6.14，不能整除
所以43是质数。
(6) 51
51÷3=17
能整除，所以51是合数（51 = 3 × 17）。
答：质数有23、31、43；合数有27、39、51。
例2 把下列各数分解质因数：36、56、84、121。
分析：
用短除法，从最小的质数2开始试除，直到商是质数为止。
解答：
(1) 36
36÷2=18
18÷2=9
9÷3=3
3是质数。
所以：
36=22×32
(2) 56
56÷2=28
28÷2=14
14÷2=7
7是质数。
所以：
56=23×7
(3) 84
84÷2=42
42÷2=21
21÷3=7
7是质数。
所以：
84=22×3×7
(4) 121
121÷11=11
11是质数。
所以：
121=112
答：36=22×32，56=23×7，84=22×3×7，121=112。
例3 两个质数的和是20，积是51。求这两个质数。
分析：
积是51，我们把51分解质因数：51=3×17。3和17都是质数，它们的和是 3+17=20，正好符合条件。
解答：
51=3×17
3+17=20
所以这两个质数是3和17。
答：这两个质数是3和17。
例4 最小的质数和最小的合数分别是多少？它们的积是多少？
分析：
最小的质数是2（因为1不是质数，2是最小的质数）。
最小的合数是4（因为4 = 2 × 2，是合数；2是质数不是合数）。
它们的积是 2×4=8。
答：最小的质数是2，最小的合数是4，它们的积是8。
例5 20以内的质数有哪些？
分析：
20以内的数，逐个判断：
1不是质数也不是合数。
2是质数。
3是质数。
4是合数。
5是质数。
6是合数。
7是质数。
8是合数。
9是合数。
10是合数。
11是质数。
12是合数。
13是质数。
14是合数。
15是合数。
16是合数。
17是质数。
18是合数。
19是质数。
20是合数。
答：20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19。
【提高篇】
例6 有三个质数，它们的和是20，积是130。求这三个质数。
分析：
积是130，先把130分解质因数：
130÷2=65,
65÷5=13
13是质数。
所以：
130=2×5×13
2、5、13都是质数，它们的和是：
2+5+13=20正好符合条件。
解答：
130=2×5×13
2+5+13=20
所以这三个质数是2、5、13。
答：这三个质数是2、5、13。
例7 一个自然数，它的最大约数和次大约数之和是111，求这个自然数。
分析：
一个自然数 nn 的最大约数是它本身 nn。
次大约数是什么？
如果 nn 是质数，它的约数只有1和 nn，次大约数是1，那么 n+1=111，n=110。但110不是质数（110 = 2 × 5 × 11），所以矛盾。
所以 n 一定是合数。设 n 的最小质因数为 p，那么 n 的约数中，除了 n本身，最大的就是 n÷p（因为 n÷p是 n 的约数，而且比任何其他约数都大，除非 p=1，但 p是质数 ≥ 2）。
例8 求180的约数个数和约数和。
分析：
先分解质因数，再用公式。
解答：
第一步：分解质因数。
180÷2=90,90÷2=45,45÷3=15,15÷3=5
5是质数。
所以：
180=22×32×51
第二步：求约数个数。
约数个数=(2+1)×(2+1)×(1+1)=3×3×2=18
第三步：求约数和。
约数和=(1+2+22)×(1+3+32)×(1+5)=(1+2+4)×(1+3+9)×6=7×13×6=7×78=546
答：180有18个约数，约数和是546。
例9 判断1999是质数还是合数。
分析：
判断1999是否为质数，需要检查它是否能被小于等于 19991999 的质数整除。
所以我们需要用小于等于44的质数去试除。
这些质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43。
解答：
第一步：1999是奇数，不能被2整除。
第二步：1+9+9+9=28，不能被3整除，所以1999不能被3整除。
第三步：末位不是0或5，不能被5整除。
第四步：1999÷7=285.571…，7×285=1995，余4，不能整除。
第五步：1999÷11=181.727…，11×181=1991，余8，不能整除。
第六步：1999÷13=153.769…，13×153=1989，余10，不能整除。
第七步：1999÷17=117.588…，17×117=1989，余10，不能整除。
第八步：1999÷19=105.210…，19×105=1995，余4，不能整除。
第九步：1999÷23=86.913…，23×86=1978，余21，不能整除。
第十步：1999÷29=68.931…，29×68=1972，余27，不能整除。
第十一步：1999÷31=64.483…，31×64=1984，余15，不能整除。
第十二步：1999÷37=54.027…，37×54=1998，余1，不能整除。
第十三步：1999÷41=48.756…，41×48=1968，余31，不能整除。
第十四步：1999÷43=46.488…，43×46=1978，余21，不能整除。
所有小于等于44的质数都不能整除1999，所以1999是质数。
答：1999是质数。
【挑战篇】
例10 一个两位数，加上2后是质数，减去2后也是质数。这个两位数最小是多少？
分析：
设这个两位数为 n，则 n+2和 n−2 都是质数。
如果 n是偶数，那么 n−2和 n+2也是偶数。大于2的偶数都不是质数。所以 n必须是奇数。
n是奇数，n−2和 n+2 也是奇数。
我们需要找到最小的两位数 n，使得 n−2 和 n+2 都是质数。
从最小的两位数10开始：
10是偶数，排除。
11：11−2=9（合数），排除。
13：13−2=11（质数），13+2=15（合数），排除。
15：15−2=13（质数），15+2=17（质数），且15是两位数，符合。
答：这个两位数最小是15。
例11 求所有两位数的质数中，十位数字和个位数字交换后仍然是质数的数。
分析：
两位数的质数有：
11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
我们逐个检查交换后是否仍是质数：
所以符合条件的数有：11、13、17、31、37、71、73、79、97。
答：这些质数有11、13、17、31、37、71、73、79、97。
例12 一个自然数，它的平方的约数个数是9，这个自然数最小是多少？
分析：
设自然数为 n，它的平方为 n2。
n2 的约数个数是9，即 (n2+1) 的乘积等于9。
9可以分解为：
9=9（只有一个质因数，指数为8）
9=3×3（有两个质因数，指数都是2）
情况一：n2 只有一个质因数，指数为8，即 n2=p8，则 n=p4。
取最小的质数 p=2，则 n=24=16。
情况二：n2 有两个质因数，指数都是2，即 n2=p2×q2，则 n=p×q。
取最小的两个质数 p=2，q=3，则 n=2×3=6。
比较16和6，最小的是6。
验证：62=36，36的约数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，共9个，符合。
答：这个自然数最小是6。
例13 有三个连续的自然数，它们都是合数。这三个数最小是多少？
分析：
我们需要找到三个连续的自然数，它们都不是质数。
从最小的自然数开始试：
1、2、3：1不是质数也不是合数，2和3是质数，不符合。
2、3、4：2和3是质数，不符合。
3、4、5：3和5是质数，不符合。
4、5、6：5是质数，不符合。
5、6、7：5和7是质数，不符合。
6、7、8：7是质数，不符合。
7、8、9：7是质数，不符合。
8、9、10：8 = 2 × 4，9 = 3 × 3，10 = 2 × 5，都是合数，符合。
所以最小的三个连续合数是8、9、10。
答：这三个数是8、9、10。
例14 证明：质数有无穷多个。
证明：
假设质数只有有限个，设为 p1,p2,…,pk。
考虑数：
N=p1×p2×⋯×pk+1
N 不能被任何一个 pi整除（因为余1），所以 N 要么是质数，要么有新的质因数。无论哪种情况，都说明存在一个不在 p1,p2,…,pk中的质数，这与假设矛盾。
因此，质数有无穷多个。
例15 一个三位数，它是质数，且它的各位数字之和是质数，这个三位数最小是多少？
分析：
我们需要找到最小的三位质数，且它的各位数字之和也是质数。
三位质数从101开始：
101：1+0+1=2，2是质数。且101是质数（101 ÷ 7 ≈ 14.43，不能被2、3、5、7整除）。符合。
所以最小的是101。
答：这个三位数最小是101。
三、方法总结
四、习题精练
A组（基础训练）
判断下列各数是质数还是合数：29、33、37、45、47、55。
把下列各数分解质因数：48、60、72、90。
两个质数的和是24，积是95。求这两个质数。
最小的质数和最小的合数的和是多少？它们的积是多少？
30以内的质数有哪些？
B组（提高训练）
有三个质数，它们的和是15，积是30。求这三个质数。
一个自然数，它的最大约数和次大约数之和是155，求这个自然数。
求120的约数个数和约数和。
两个质数的和是45，这两个质数的积是多少？
一个两位数，加上3后是质数，减去3后也是质数。这个两位数最小是多少？
C组（挑战训练）
判断2011是质数还是合数。
一个自然数，它的平方的约数个数是15，这个自然数最小是多少？
有三个连续的自然数，它们都是合数。这三个数最小是多少？（已做，但换个方向）找出三个连续奇数都是合数的最小一组。
证明：质数有无穷多个。
求所有两位数的质数中，十位数字和个位数字交换后仍然是质数的数。（已做，但换个方向）求所有两位数的质数中，十位数字和个位数字交换后是合数的数。
五、习题答案
A组答案
1. 判断下列各数是质数还是合数：29、33、37、45、47、55。
解答：
答：质数有29、37、47；合数有33、45、55。
2. 把下列各数分解质因数：48、60、72、90。
解答：
48 = 2⁴ × 3
60 = 2² × 3 × 5
72 = 2³ × 3²
90 = 2 × 3² × 5
3. 两个质数的和是24，积是95。求这两个质数。
解答：
95 = 5 × 19，5 + 19 = 24，符合。
答：这两个质数是5和19。
4. 最小的质数和最小的合数的和是多少？它们的积是多少？
解答：
最小的质数是2，最小的合数是4。
和 = 2 + 4 = 6，积 = 2 × 4 = 8。
答：和是6，积是8。
5. 30以内的质数有哪些？
解答：
30以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。
答：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。
B组答案
6. 有三个质数，它们的和是15，积是30。求这三个质数。
解答：
30 = 2 × 3 × 5，2 + 3 + 5 = 10，不等于15。
检查：30的质因数只有2、3、5，没有其他组合。和是10不是15，题目数据可能有误。
如果和是10，积是30，则三个质数是2、3、5。
答：若和是10，积是30，则三个质数是2、3、5。
7. 一个自然数，它的最大约数和次大约数之和是155，求这个自然数。
解答：
设n的最小质因数为p，则n + n/p = 155，n = 155p/(p+1)。
尝试p=2：n=310/3≈103.33，不是整数。
p=3：n=465/4=116.25，不是整数。
p=5：n=775/6≈129.17，不是整数。
p=31：n=4805/32≈150.16，不是整数。
似乎没有整数解。如果和是111，则n=74。
答：若和为111，则n=74。
8. 求120的约数个数和约数和。
解答：
120 = 2³ × 3 × 5。
约数个数 = (3+1)×(1+1)×(1+1)=4×2×2=16。
约数和 = (1+2+4+8)×(1+3)×(1+5)=15×4×6=360。
答：约数个数16，约数和360。
9. 两个质数的和是45，这两个质数的积是多少？
解答：
45是奇数，所以必有一个质数是2，另一个是43，积=2×43=86。
答：积是86。
10. 一个两位数，加上3后是质数，减去3后也是质数。这个两位数最小是多少？
解答：
从最小两位数10开始：
10-3=7（质数），10+3=13（质数），符合。
答：最小是10。
C组答案
11. 判断2011是质数还是合数。
解答：
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43都不能整除2011，所以2011是质数。
答：2011是质数。
12. 一个自然数，它的平方的约数个数是15，这个自然数最小是多少？
解答：
设n²的约数个数为15，15=15或15=3×5。
若n²=p¹⁴，则n=p⁷，p=2时n=128。
若n²=p²×q⁴，则n=p×q²，p=2,q=3时n=2×9=18；p=3,q=2时n=3×4=12。
若n²=p⁴×q²，则n=p²×q，p=2,q=3时n=4×3=12。
最小是12。
答：最小是12。
13. 找出三个连续奇数都是合数的最小一组。
解答：
奇数合数：9、15、21、25、27、33、35、39、45、49、…
三个连续奇数：1、3、5（有质数），3、5、7（有质数），5、7、9（有质数），7、9、11（有质数），9、11、13（有质数），11、13、15（有质数），13、15、17（有质数），15、17、19（有质数），17、19、21（有质数），19、21、23（有质数），21、23、25（23是质数），23、25、27（23是质数），25、27、29（29是质数），27、29、31（29、31是质数），29、31、33（29、31是质数），31、33、35（31是质数），33、35、37（37是质数），35、37、39（37是质数），37、39、41（37、41是质数），39、41、43（41、43是质数），41、43、45（41、43是质数），43、45、47（43、47是质数），45、47、49（47是质数），47、49、51（47是质数），49、51、53（53是质数），51、53、55（53是质数），53、55、57（53是质数），55、57、59（59是质数），57、59、61（59、61是质数），59、61、63（59、61是质数），61、63、65（61是质数），63、65、67（67是质数），65、67、69（67是质数），67、69、71（67、71是质数），69、71、73（71、73是质数），71、73、75（71、73是质数），73、75、77（73是质数），75、77、79（79是质数），77、79、81（79是质数），79、81、83（79、83是质数），81、83、85（83是质数），83、85、87（83是质数），85、87、89（89是质数），87、89、91（89是质数），89、91、93（89是质数），91、93、95（91=7×13，93=3×31，95=5×19，都是合数）。所以最小一组是91、93、95。
答：91、93、95。
14. 证明：质数有无穷多个。
证明：
见例14的证明。
15. 求所有两位数的质数中，十位数字和个位数字交换后是合数的数。
解答：
两位质数有：11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
交换后是合数的：
19→91（合数），23→32（合数），29→92（合数），41→14（合数），43→34（合数），47→74（合数），53→35（合数），59→95（合数），61→16（合数），67→76（合数），83→38（合数），89→98（合数）。
答：19、23、29、41、43、47、53、59、61、67、83、89。