一、知识要点
1. 什么是整除？
整除是一个非常重要的概念。我们先从生活实例理解：
假设你有12块糖果，要平均分给3个小朋友，每人分到4块，正好分完，没有剩余。这时我们就说：12能被3整除，或者说3能整除12。
如果要把12块糖果平均分给5个小朋友，每人分到2块，还剩下2块，分不完。这时我们就说：12不能被5整除。
数学定义：如果整数a除以整数b（b≠0），得到的商是整数，而且没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
记法：通常用符号 b∣ab∣a 表示“b整除a”，读作“b整除a”或“a被b整除”。例如 3∣123∣12。
注意：
0能被任何非零整数整除，因为 0÷b=00÷b=0，商是整数。
任何非零整数都能被1和它本身整除。
2. 什么是余数？
当a不能被b整除时，就会有余数。例如：
13÷5=2⋯313÷5=2⋯3，读作“13除以5等于2余3”。这里3就是余数。
余数的性质：
余数一定小于除数。即：如果除以b，余数只能是0、1、2、…、b-1。
任何整数都可以写成：a=b×q+ra=b×q+r，其中0 ≤ r < b，q是商，r是余数。
3. 同余的概念（重点！）
同余是数论中非常重要的概念，它用来描述两个数除以同一个数后余数相同的情况。
定义：如果两个整数a和b除以同一个正整数m，所得的余数相同，那么我们就说a和b模m同余，记作：
a≡b(modm)a≡b(modm)
读作“a同余于b模m”。
例如：
13 ÷ 5 = 2 余 3，8 ÷ 5 = 1 余 3，所以13和8除以5的余数相同，都是3。因此 13≡8(mod5)13≡8(mod5)。
17 ÷ 4 = 4 余 1，9 ÷ 4 = 2 余 1，所以 17≡9(mod4)17≡9(mod4)。
15 ÷ 3 = 5 余 0，6 ÷ 3 = 2 余 0，所以 15≡6(mod3)15≡6(mod3)。
另一种理解方式：a ≡ b (mod m) 等价于 m 能整除 (a - b)，即 m∣(a−b)m∣(a−b)。
例如：13 - 8 = 5，5能被5整除，所以13≡8 (mod 5)。
常见的同余写法：
a≡0(modm)a≡0(modm) 表示 a能被m整除（余数为0）。
a≡r(modm)a≡r(modm) 表示 a除以m余r，其中0 ≤ r < m。
4. 同余的基本性质
同余和等式一样，有很多有用的运算性质：
性质1（传递性）：如果 a ≡ b (mod m)，且 b ≡ c (mod m)，那么 a ≡ c (mod m)。
性质2（可加性）：如果 a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m)，那么 a + c ≡ b + d (mod m)。
性质3（可减性）：如果 a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m)，那么 a - c ≡ b - d (mod m)。
性质4（可乘性）：如果 a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m)，那么 a × c ≡ b × d (mod m)。
性质5（幂运算）：如果 a ≡ b (mod m)，那么对于任意正整数k，有 ak≡bk(modm)ak≡bk(modm)。
简单理解：同余就像“余数相等”，所以加、减、乘、乘方运算后，余数仍然相等。
5. 常用数的整除特征（用同余理解）
6. 奇数和偶数
定义：
偶数：能被2整除的整数。个位是0、2、4、6、8。例如：0、2、4、6、8、10、12……
奇数：不能被2整除的整数。个位是1、3、5、7、9。例如：1、3、5、7、9、11、13……
用同余表示：
偶数 ≡ 0 (mod 2)
奇数 ≡ 1 (mod 2)
运算规律：
重要结论：
两个整数的和与差具有相同的奇偶性。
若干个整数相加，和的奇偶性由奇数的个数决定：奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数。
若干个整数相乘，只要有一个因数是偶数，积就是偶数；所有因数都是奇数时，积才是奇数。
二、例题精讲
【基础篇】
例1 在□里填上合适的数字，使四位数 5□3□ 同时被2和5整除。
分析：
我们先明确这个四位数的各位：
千位是5
百位是□（需要填的数字）
十位是3
个位是□（需要填的数字）
被2整除的条件：末位（个位）是偶数，即0、2、4、6、8。
被5整除的条件：末位（个位）是0或5。
同时被2和5整除，就是同时满足这两个条件，所以末位只能是0（因为0既是偶数又是5的倍数，而5是奇数不是偶数）。
因此，这个四位数的个位必须填0。这个数就变成了 5□30。
现在百位上的□可以填什么数字？没有其他限制条件，所以0~9都可以。这样得到10个不同的四位数。
解答：
第一步：同时被2和5整除的数，末位必须是0，所以个位填0。
第二步：这个四位数为 5□30，其中□可以是0~9中的任意数字。
答：这样的四位数有10个，例如5030、5130、5230、5330、5430、5530、5630、5730、5830、5930。
例2 判断下面各数哪些能被3整除：234、456、789、1112。
分析：
判断一个数能否被3整除，不需要做除法，只需要看它的各位数字之和能否被3整除。
为什么？因为10 ≡ 1 (mod 3)，所以10^k ≡ 1 (mod 3)，因此：
abcd=a×103+b×102+c×10+d≡a+b+c+d(mod3)
所以一个数除以3的余数等于它的各位数字和除以3的余数。
解答：
第一步：计算234的各位数字和：2 + 3 + 4 = 9。
9能被3整除（9÷3=3），所以234能被3整除。
第二步：计算456的各位数字和：4 + 5 + 6 = 15。
15能被3整除（15÷3=5），所以456能被3整除。
第三步：计算789的各位数字和：7 + 8 + 9 = 24。
24能被3整除（24÷3=8），所以789能被3整除。
第四步：计算1112的各位数字和：1 + 1 + 1 + 2 = 5。
5不能被3整除（5÷3≈1.666），所以1112不能被3整除。
答：234、456、789能被3整除，1112不能被3整除。
例3 不计算，判断 13579 + 2468 的和是奇数还是偶数？
分析：
判断和的奇偶性，只需要看两个加数的奇偶性。
用同余表示：一个数是奇数 ⇔ 它 ≡ 1 (mod 2)；一个数是偶数 ⇔ 它 ≡ 0 (mod 2)。
解答：
第一步：13579的个位是9，是奇数，即 13579 ≡ 1 (mod 2)。
第二步：2468的个位是8，是偶数，即 2468 ≡ 0 (mod 2)。
第三步：1 + 0 ≡ 1 (mod 2)，所以和是奇数。
答：和是奇数。
例4 判断下面各数哪些能被9整除：1233、4566、7890、1113。
分析：
判断一个数能否被9整除，看它的各位数字之和能否被9整除。
因为10 ≡ 1 (mod 9)，所以10^k ≡ 1 (mod 9)，因此一个数 ≡ 各位数字和 (mod 9)。
解答：
第一步：1233的各位数字和：1+2+3+3=9。9能被9整除，所以1233能被9整除。
第二步：4566的各位数字和：4+5+6+6=21。21不能被9整除，所以4566不能被9整除。
第三步：7890的各位数字和：7+8+9+0=24。24不能被9整除，所以7890不能被9整除。
第四步：1113的各位数字和：1+1+1+3=6。6不能被9整除，所以1113不能被9整除。
答：只有1233能被9整除。
【提高篇】
例5 五位数 3□4□5 能被5整除，且能被9整除，求这个五位数。
分析：
这个五位数的形式是：万位3，千位□（设为a），百位4，十位□（设为b），个位5。
所以这个数是 3a4b53a4b5。
第一步：被5整除的条件。
被5整除的数，个位是0或5。这个数的个位已经是5，所以被5整除的条件自动满足。
第二步：被9整除的条件。
被9整除的数，各位数字之和能被9整除。
各位数字和 = 3 + a + 4 + b + 5 = 12 + a + b。
需要12 + a + b能被9整除，即 12 + a + b ≡ 0 (mod 9)。
a和b都是0~9的数字，所以a+b最小是0，最大是18。
那么12 + a + b最小是12，最大是30。
在12到30之间，9的倍数有：18、27。
情况一：12 + a + b = 18，则a + b = 6。
a和b是0~9的数字，且a+b=6，可能的组合有：
(0,6)、(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)、(6,0)。
情况二：12 + a + b = 27，则a + b = 15。
a和b是0~9的数字，且a+b=15，可能的组合有：
(6,9)、(7,8)、(8,7)、(9,6)。
所以所有满足条件的五位数就是这些a、b组合对应的数。
解答：
第一步：个位是5，被5整除条件已满足。
第二步：设千位数字为a，十位数字为b，则数字和=12+a+b。
第三步：被9整除，所以12+a+b=18或27。
第四步：当12+a+b=18时，a+b=6，得7个数：30465、31455、32445、33435、34425、35415、36405。
当12+a+b=27时，a+b=15，得4个数：39465、38475、37485、36495。
答：这些五位数有：30465、31455、32445、33435、34425、35415、36405、36495、37485、38475、39465。
例6 在1、2、3、4、5中任意取出两个数相加，和是奇数的可能性大还是偶数的可能性大？
分析：
两个数相加，和的奇偶性由两个加数的奇偶性决定：
奇数 + 奇数 = 偶数
偶数 + 偶数 = 偶数
奇数 + 偶数 = 奇数
用同余表示：奇数 ≡ 1 (mod 2)，偶数 ≡ 0 (mod 2)。
和是奇数 ⇔ 1+0≡1 或 0+1≡1，即一个奇数一个偶数。
和是偶数 ⇔ 1+1≡0 或 0+0≡0，即两个奇数或两个偶数。
我们先找出1~5中有几个奇数，几个偶数：
奇数：1、3、5（共3个）
偶数：2、4（共2个）
例7 一个自然数除以4余1，除以5余2，除以6余3，这个数最小是多少？
分析：
我们先把题目翻译成同余式：
除以4余1：N≡1(mod4)
除以5余2：N≡2(mod5)
除以6余3：N≡3(mod6)
观察余数规律：
N≡1(mod4) 意味着 N+3≡0(mod4)，即N+3能被4整除。
N≡2(mod5) 意味着 N+3≡0(mod5)，即N+3能被5整除。
N≡3(mod6)意味着 N+3≡0(mod6)，即N+3能被6整除。
所以，N+3能同时被4、5、6整除。也就是说，N+3 是4、5、6的公倍数。
求最小公倍数：
4 = 2²
5 = 5
6 = 2 × 3
所以4、5、6的最小公倍数 = 2² × 3 × 5 = 4 × 3 × 5 = 60。
因此，N+3N+3 最小是60，所以N最小是60 - 3 = 57。
验证：
57 ÷ 4 = 14 余 1 ✓
57 ÷ 5 = 11 余 2 ✓
57 ÷ 6 = 9 余 3 ✓
解答：
第一步：由 N ≡ 1 (mod 4) 得 N+3 ≡ 0 (mod 4)；由 N ≡ 2 (mod 5) 得 N+3 ≡ 0 (mod 5)；由 N ≡ 3 (mod 6) 得 N+3 ≡ 0 (mod 6)。
第二步：所以N+3是4、5、6的公倍数。4、5、6的最小公倍数是60。
第三步：N+3=60，N=57。
答：这个数最小是57。
例8 已知五位数 1234a 能被11整除，求a的值。
分析：
五位数 1234a‾1234a 表示：万位1，千位2，百位3，十位4，个位a。
被11整除的特征：奇数位数字和与偶数位数字和的差能被11整除。
这个特征可以用同余来理解：因为10 ≡ -1 (mod 11)，所以10^k ≡ (-1)^k (mod 11)。
对于五位数 abcde=a×104+b×103+c×102+d×10+eabcde=a×104+b×103+c×102+d×10+e：
10^4 ≡ (-1)^4 = 1 (mod 11)
10^3 ≡ (-1)^3 = -1 (mod 11)
10^2 ≡ (-1)^2 = 1 (mod 11)
10^1 ≡ -1 (mod 11)
10^0 = 1
所以 abcde≡a−b+c−d+e(mod11)。
也就是说，一个数除以11的余数等于（奇数位数字和减去偶数位数字和）除以11的余数。
确定数位：
个位是第1位（奇数位）→ 数字a
十位是第2位（偶数位）→ 数字4
百位是第3位（奇数位）→ 数字3
千位是第4位（偶数位）→ 数字2
万位是第5位（奇数位）→ 数字1
所以：
奇数位和 = a + 3 + 1 = a + 4
偶数位和 = 4 + 2 = 6
差 = (a + 4) - 6 = a - 2
被11整除，即 1234a≡0(mod11)，所以 a−2≡0(mod11)。
a是0~9的数字，所以a-2的取值范围是-2到7。在这个范围内，11的倍数只有0。
所以a - 2 = 0，即a = 2。
解答：
第一步：五位数 1234a中，奇数位数字：个位a，百位3，万位1，和为a+4；偶数位数字：十位4，千位2，和为6。
第二步：被11整除的条件：奇数位和与偶数位和的差能被11整除，即 (a+4)-6 = a-2 能被11整除。
第三步：a是0~9的数字，a-2只能是0，所以a=2。
答：a=2，这个数是12342。
【挑战篇】
例9 能否在下面的算式中填上“+”或“-”，使等式成立？
1□2□3□4□5□6=0
分析：
我们先用奇偶性来分析。先计算所有数的和：
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21（奇数）。
当我们把某个加号改成减号时，会发生什么变化？
例如，原式是 1+2+3+4+5+6=21，如果把+3改成-3，式子变成 1+2−3+4+5+6=15。
21变成15，减少了6，而6正好是3的2倍（2×3）。
也就是说，每把一个加号改成减号，结果就减少两倍的该数。
用同余表示：设所有数都是正号时的和为S。将某个加号改为减号，相当于减去两倍的该数。因为两倍的任何整数都是偶数，所以：
新结果≡S−偶数≡S(mod2)新结果≡S−偶数≡S(mod2)
即改变符号不改变结果的奇偶性。
所以，无论怎样填加减号，结果与S的奇偶性相同，即总是奇数。
0是偶数，所以不可能得到0。
解答：
第一步：所有数的和 = 1+2+3+4+5+6=21（奇数）。
第二步：每将一个加号改为减号，结果减少两倍的该数（偶数），所以结果的奇偶性不变。
第三步：无论怎样填符号，结果都是奇数。
第四步：0是偶数，所以不可能等于0。
答：不可能。
例10 已知五位数 1a2a3 能被9整除，求a的值。
分析：
五位数 1a2a3表示：万位1，千位a，百位2，十位a，个位3。
各位数字之和 = 1 + a + 2 + a + 3 = 6 + 2a。
被9整除的条件：各位数字之和能被9整除，即 6+2a ≡ 0 (mod 9)。
a是0~9的数字，所以6+2a的取值范围是6到24。
在6到24之间，9的倍数有：9、18。
情况一：6 + 2a = 9，则2a = 3，a = 1.5，不是整数，舍去。
情况二：6 + 2a = 18，则2a = 12，a = 6。
所以a=6。
解答：
第一步：各位数字和 = 1 + a + 2 + a + 3 = 6 + 2a。
第二步：被9整除，所以6+2a是9的倍数，即6+2a ≡ 0 (mod 9)。
第三步：a是0~9的整数，6+2a的可能值有9、18、27…，只有18符合（6+2×6=18）。
答：a=6，这个数是16263。
例11 有一个四位数，它被3除余2，被5除余3，被7除余5。这个数最小是多少？
分析：
我们用逐步满足法来解。设这个四位数为N。
用同余式表示：
N≡2(mod3),N≡3(mod5),N≡5(mod7)
第一步：先满足被5除余3的条件。
被5除余3的数可以写成：N = 5k + 3，k是自然数。
这样的数有：3、8、13、18、23、28、33、38、43、48、53、58、63……
第二步：再满足被7除余5的条件。
从上面的数中找出被7除余5的数：
3÷7=0余3，不行；8÷7=1余1，不行；13÷7=1余6，不行；18÷7=2余4，不行；23÷7=3余2，不行；28÷7=4余0，不行；33÷7=4余5，符合！
所以33是同时满足被5除余3和被7除余5的最小数。
因此，N可以写成 N = 33 + 35m，其中35是5和7的最小公倍数，m是自然数。
第三步：再满足被3除余2的条件。
把N = 33 + 35m代入，计算除以3的余数：
33 ≡ 0 (mod 3)（因为33÷3=11余0）
35 ≡ 2 (mod 3)（因为35÷3=11余2）
所以 N ≡ 0 + 2m ≡ 2m (mod 3)
需要 N ≡ 2 (mod 3)，所以 2m ≡ 2 (mod 3)
两边同时除以2，注意：2在模3下的逆元是2（因为2×2=4≡1 mod 3），所以 m ≡ 1 (mod 3)
因此m = 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, …
第四步：求最小的四位数。
当m=1时，N=33+35=68（两位数）
m=4时，N=33+140=173（三位数）
m=7时，N=33+245=278（三位数）
m=10时，N=33+350=383（三位数）
m=13时，N=33+455=488（三位数）
m=16时，N=33+560=593（三位数）
m=19时，N=33+665=698（三位数）
m=22时，N=33+770=803（三位数）
m=25时，N=33+875=908（三位数）
m=28时，N=33+980=1013（四位数）
所以最小的四位数是1013。
解答：
第一步：先找满足N≡3 (mod 5)和N≡5 (mod 7)的数，最小是33，所以N=33+35m。
第二步：代入N≡2 (mod 3)：33+35m ≡ 2 (mod 3) → 0+2m ≡ 2 (mod 3) → 2m ≡ 2 (mod 3) → m ≡ 1 (mod 3)。
第三步：m=1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,…，当m=28时，N=33+980=1013，是四位数。
答：这个数最小是1013。
例12 证明：任意三个连续自然数中，必有一个能被3整除。
分析：
我们需要证明：对于任意自然数n，在n、n+1、n+2这三个数中，总有一个是3的倍数。
用同余证明：
一个数除以3，余数只可能是0、1、2三种情况。用同余表示就是n ≡ 0, 1, 2 (mod 3)。
考虑n除以3的余数：
如果 n ≡ 0 (mod 3)，那么n本身就是3的倍数，结论成立。
如果 n ≡ 1 (mod 3)，那么n可以写成n = 3k + 1，则n+2 = 3k + 3 = 3(k+1) ≡ 0 (mod 3)，是3的倍数，结论成立。
如果 n ≡ 2 (mod 3)，那么n可以写成n = 3k + 2，则n+1 = 3k + 3 = 3(k+1) ≡ 0 (mod 3)，是3的倍数，结论成立。
因此，无论n除以3的余数是什么，n、n+1、n+2中总有一个是3的倍数。
解答：
设三个连续自然数为n、n+1、n+2。
n除以3的余数只能是0、1、2。
若 n ≡ 0 (mod 3)，则n能被3整除。
若 n ≡ 1 (mod 3)，则n+2 ≡ 0 (mod 3)，即n+2能被3整除。
若 n ≡ 2 (mod 3)，则n+1 ≡ 0 (mod 3)，即n+1能被3整除。
所以，任意三个连续自然数中，必有一个能被3整除。
三、方法总结
整除特征：熟记2、3、4、5、8、9、11的整除特征，并用同余理解其原理。
同余符号：
a≡b(modm) 表示a和b除以m的余数相同。
等价于 m | (a - b)。
同余具有传递性、可加性、可减性、可乘性、幂运算性质。
奇偶分析法：
用 mod 2 表示奇偶性：奇数≡1，偶数≡0。
利用奇偶性可以快速判断某些问题是否可能。
余数转化：对于“除以a余b”的问题，可以转化为“这个数加上(a-b)能被a整除”，然后求公倍数。
逐步满足法：对于多个同余条件，可以先满足部分条件，再逐步调整。
枚举验证：对于数字谜题，常常需要枚举可能的情况进行验证。
四、习题精练
A组（基础训练）
在下面的数中，哪些能被2整除？哪些能被5整除？哪些能被3整除？
120、235、348、450、567、678在□里填上合适的数字，使四位数 7□2□7□2□ 能被2整除，且能被5整除。
判断下列各数能否被9整除：1233、4566、7890、1113
不计算，判断 2468 + 13579 的和是奇数还是偶数？
在1、2、3、4、5、6中任意取出两个数相乘，积是奇数的可能性大还是偶数的可能性大？
B组（提高训练）
五位数 2□5□82□5□8 能被4整除，且能被9整除，求这个五位数。
一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，这个数最小是多少？
已知六位数 123456‾123456 能被11整除吗？请验证。
能否在下面的算式中填上“+”或“-”，使等式成立？
1□2□3□4□5=51□2□3□4□5=5一个两位数，交换十位和个位数字后得到的新数比原数大36，且这个两位数能被3整除。求这个两位数。
C组（挑战训练）
已知五位数 1a2a3‾1a2a3 能被9整除，求a的值。
有一个四位数，它被3除余2，被5除余3，被7除余5。这个数最小是多少？
能否找到三个奇数，使它们的和等于100？为什么？
在1~100中，有多少个自然数能被2或3整除？
证明：任意三个连续自然数中，必有一个能被3整除。
五、习题答案
A组答案
1. 在下面的数中，哪些能被2整除？哪些能被5整除？哪些能被3整除？
解答：
被2整除（末位偶数）：120、348、450、678。
被5整除（末位0或5）：120、235、450。
被3整除（数字和是3的倍数）：
120：1+2+0=3，是3的倍数 → 是
235：2+3+5=10，不是3的倍数 → 否
348：3+4+8=15，是3的倍数 → 是
450：4+5+0=9，是3的倍数 → 是
567：5+6+7=18，是3的倍数 → 是
678：6+7+8=21，是3的倍数 → 是
答：被2整除：120、348、450、678；被5整除：120、235、450；被3整除：120、348、450、567、678。
2. 在□里填上合适的数字，使四位数 7□2□ 能被2整除，且能被5整除。
解答：
同时被2和5整除，即被10整除，末位必须是0。所以个位填0。
这个四位数为 7□20，千位是7，百位是□，十位是2，个位是0。百位上的□可以是0~9的任意数字。
答：这样的四位数有10个，例如7020、7120、7220、7320、7420、7520、7620、7720、7820、7920。
3. 判断下列各数能否被9整除：1233、4566、7890、1113
解答：
1233：1+2+3+3=9，能被9整除 → 是
4566：4+5+6+6=21，不能被9整除 → 否
7890：7+8+9+0=24，不能被9整除 → 否
1113：1+1+1+3=6，不能被9整除 → 否
答：只有1233能被9整除。
4. 不计算，判断 2468 + 13579 的和是奇数还是偶数？
解答：
2468的个位是8，是偶数，即2468≡0 (mod 2)；13579的个位是9，是奇数，即13579≡1 (mod 2)。0+1≡1 (mod 2)，所以和是奇数。
答：和是奇数。
5. 在1、2、3、4、5、6中任意取出两个数相乘，积是奇数的可能性大还是偶数的可能性大？
解答：
积是奇数的条件是两个数都是奇数。1~6中，奇数有1、3、5共3个，偶数有2、4、6共3个。
总取法：C(6,2)=15种。
积为奇数的取法：C(3,2)=3种。
积为偶数的取法：15-3=12种。
12 > 3，所以积是偶数的可能性更大。
答：积是偶数的可能性更大。
B组答案
6. 五位数 2□5□8 能被4整除，且能被9整除，求这个五位数。
解答：
设五位数为 2a5b8，a是千位数字，b是十位数字。
被4整除：看末两位b8，b8能被4整除，b可以是0、2、4、6、8。
被9整除：数字和=2+a+5+b+8=15+a+b是9的倍数，即15+a+b≡0 (mod 9)，a+b=3或12。
a+b=3时，结合b∈{0,2,4,6,8}：b=0,a=3；b=2,a=1；b=4,a=-1（舍）→ 23508、21528
a+b=12时，结合b∈{0,2,4,6,8}：b=4,a=8；b=6,a=6；b=8,a=4 → 28548、26568、24588
答：这些五位数是23508、21528、28548、26568、24588。
7. 一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，这个数最小是多少？
解答：
N ≡ 2 (mod 3) 且 N ≡ 2 (mod 7)，所以 N-2 能被3和7整除，即能被21整除。设N=21k+2。
代入N≡3 (mod 5)：21k+2≡3 (mod 5) → 21k≡1 (mod 5) → 21≡1 (mod 5)，所以k≡1 (mod 5)。
k=1时，N=21×1+2=23。
验证：23÷3=7余2，23÷5=4余3，23÷7=3余2，符合。
答：这个数最小是23。
8. 已知六位数 123456‾123456 能被11整除吗？请验证。
解答：
六位数123456，奇数位（第1、3、5位）：个位6，百位4，万位2，和为6+4+2=12；偶数位（第2、4、6位）：十位5，千位3，十万位1，和为5+3+1=9；差=12-9=3，3不能被11整除，所以123456不能被11整除。
答：不能。
9. 能否在下面的算式中填上“+”或“-”，使等式成立？
1□2□3□4□5=5
解答：
尝试：1+2+3+4-5=5，成立。
答：可以，如1+2+3+4-5=5。
10. 一个两位数，交换十位和个位数字后得到的新数比原数大36，且这个两位数能被3整除。求这个两位数。
解答：
设原数为10a+b，交换后为10b+a，则(10b+a)-(10a+b)=9(b-a)=36，b-a=4。
a、b是数字，a≠0，b≤9，所以a=1,b=5；a=2,b=6；a=3,b=7；a=4,b=8；a=5,b=9。
能被3整除：a+b是3的倍数。
15：1+5=6，是3的倍数；26：2+6=8，不是；37：3+7=10，不是；48：4+8=12，是；59：5+9=14，不是。
所以两位数是15或48。
答：15或48。
C组答案
11. 已知五位数 1a2a3 能被9整除，求a的值。
解答：
数字和=1+a+2+a+3=6+2a，被9整除即6+2a≡0 (mod 9)。a是0~9的整数，6+2a=9、18、27…，只有18符合，得a=6。
答：a=6。
12. 有一个四位数，它被3除余2，被5除余3，被7除余5。这个数最小是多少？
解答：
N≡2 (mod 3)，N≡3 (mod 5)，N≡5 (mod 7)。先满足后两个：N=33+35m。代入第一个：33+35m≡2 (mod 3)→0+2m≡2→2m≡2→m≡1 (mod 3)。m=28时，N=33+980=1013，是四位数。
答：1013。
13. 能否找到三个奇数，使它们的和等于100？为什么？
解答：
奇数≡1 (mod 2)，三个奇数相加：1+1+1≡3≡1 (mod 2)，所以和是奇数。100是偶数，不可能。
答：不能。
14. 在1~100中，有多少个自然数能被2或3整除？
解答：
能被2整除：50个；能被3整除：33个；能被6整除（同时被2和3整除）：16个。根据容斥原理，50+33-16=67个。
答：67个。
15. 证明：任意三个连续自然数中，必有一个能被3整除。
证明：
设三个连续自然数为n、n+1、n+2。n除以3的余数只能是0、1、2。
若n≡0 (mod 3)，则n能被3整除。
若n≡1 (mod 3)，则n+2≡0 (mod 3)，能被3整除。
若n≡2 (mod 3)，则n+1≡0 (mod 3)，能被3整除。
所以结论成立。