一、知识要点
1. 公因数与最大公因数
公因数：几个数公有的因数叫做它们的公因数。
最大公因数（GCD）：几个数公有的因数中最大的一个，记作gcd(a,b)或(a,b)。
求最大公因数的方法：
例：求48和60的最大公因数。
分解质因数：48=2⁴×3，60=2²×3×5
公共质因数：2和3，取较低次幂：2²×3=4×3=12
2. 公倍数与最小公倍数
公倍数：几个数公有的倍数叫做它们的公倍数。
最小公倍数（LCM）：几个数公有的倍数中最小的一个，记作lcm(a,b)或[a,b]。
求最小公倍数的方法：
例：求48和60的最小公倍数。
分解质因数：48=2⁴×3，60=2²×3×5
所有质因数：2、3、5，取较高次幂：2⁴×3×5=16×3×5=240
3. 重要性质与公式
这个公式非常重要，已知其中三个量可以求出第四个。
其他性质：
如果a是b的倍数，那么gcd(a,b)=b，lcm(a,b)=a。
如果a和b互质（gcd=1），那么lcm(a,b)=a×b。
几个数的最大公因数一定是它们任意两个数的最大公因数的因数。
几个数的最小公倍数一定是它们任意两个数的最小公倍数的倍数。
4. 解题关键
分解质因数是求最大公因数和最小公倍数的基础，务必熟练掌握。
公式法：已知两个数的积和最大公因数（或最小公倍数），可以求另一个。
实际应用：
剪裁、铺砖、分堆、分段等问题 → 求最大公因数（每份最大）
周期、相遇、同时发生等问题 → 求最小公倍数（下一次同时）
余数问题 → 转化为整除问题（加上或减去一个数）
5. 常见题型分类
二、例题精讲
【基础篇】
例1 求18和30的最大公因数和最小公倍数。
分析：
用分解质因数法。先把18和30分解质因数，然后：
最大公因数取公共质因数的较低次幂
最小公倍数取所有质因数的较高次幂
解答：
第一步：分解质因数。
18=2×32
30=2×3×5
第二步：求最大公因数。
公共质因数有2和3。18中2的指数是1，30中2的指数是1，取较低次幂：2¹。
18中3的指数是2，30中3的指数是1，取较低次幂：3¹。
所以：
gcd(18,30)=21×31=2×3=6
第三步：求最小公倍数。
所有质因数有2、3、5。2的最高指数是1，3的最高指数是2，5的最高指数是1。
所以：
lcm(18,30)=21×32×51=2×9×5=90
答：最大公因数是6，最小公倍数是90。
例2 求24和36的最大公因数和最小公倍数。
分析：
同样用分解质因数法。
解答：
第一步：分解质因数。
24=23×3
36=22×32
第二步：求最大公因数。
公共质因数有2和3。2的较低次幂是2²，3的较低次幂是3¹。
gcd(24,36)=22×3=4×3=12
第三步：求最小公倍数。
所有质因数有2、3。2的最高指数是3，3的最高指数是2。
lcm(24,36)=23×32=8×9=72
答：最大公因数是12，最小公倍数是72。
例3 用一张长24厘米，宽18厘米的长方形纸，剪成若干个面积相等的小正方形（无剩余），小正方形的边长最大是多少厘米？
分析：
要把长方形纸剪成小正方形，且无剩余，小正方形的边长必须能同时整除24和18。
所以小正方形的边长是24和18的公因数。
要求最大，就是求最大公因数。
解答：
第一步：求24和18的最大公因数。
24=23×3,18=2×32
gcd(24,18)=2×3=6
第二步：小正方形边长最大为6厘米。
答：小正方形的边长最大是6厘米。
例4 甲、乙、丙三人绕操场跑步，甲跑一圈要2分钟，乙跑一圈要3分钟，丙跑一圈要4分钟。他们同时从起点出发，至少多少分钟后三人再次在起点相遇？
分析：
三人同时从起点出发，再次在起点相遇时，每个人跑的都是整数圈。
甲需要2分钟跑一圈，所以再次相遇的时间是2的倍数。
乙需要3分钟，所以时间是3的倍数。
丙需要4分钟，所以时间是4的倍数。
所以时间是2、3、4的公倍数，要求至少多少分钟，就是求最小公倍数。
解答：
第一步：求2、3、4的最小公倍数。
2=2,3=3,4=22
lcm(2,3,4)=22×3=4×3=12
第二步：12分钟后三人再次在起点相遇。
答：至少12分钟后三人再次在起点相遇。
【提高篇】
例5 两个自然数的积是360，最小公倍数是120，求这两个数。
分析：
利用公式 a×b=gcd(a,b)×lcm(a,b)。
已知a×b=360，lcm=120，所以可以求出gcd。
然后设a=Gm，b=Gn（m、n互质），代入求解。
解答：
第一步：求最大公因数。
第二步：设a=3m，b=3n，其中m和n互质。
那么：
a×b=3m×3n=9mn=360
mn=360÷9=40
第三步：找出所有互质的正整数对(m,n)，使得mn=40。
40的因数对有：(1,40)、(2,20)、(4,10)、(5,8)、(8,5)、(10,4)、(20,2)、(40,1)。
其中互质的有：(1,40)、(5,8)、(8,5)、(40,1)。
第四步：求出对应的(a,b)。
(1,40) → a=3×1=3，b=3×40=120
(5,8) → a=3×5=15，b=3×8=24
(8,5) → a=24，b=15
(40,1) → a=120，b=3
所以这两个数是3和120，或15和24。
答：这两个数是3和120，或15和24。
例6 一盒铅笔，平均分给3个小朋友多2支，分给4个小朋友多3支，分给5个小朋友多4支。这盒铅笔至少有多少支？
分析：
“分给3个小朋友多2支”意思是铅笔数除以3余2，即铅笔数+1能被3整除。
“分给4个小朋友多3支”意思是铅笔数除以4余3，即铅笔数+1能被4整除。
“分给5个小朋友多4支”意思是铅笔数除以5余4，即铅笔数+1能被5整除。
所以铅笔数+1是3、4、5的公倍数。
要求至少有多少支，就是求最小公倍数再减1。
解答：
第一步：求3、4、5的最小公倍数。
3=3,4=22,5=5
lcm(3,4,5)=22×3×5=4×3×5=60
第二步：铅笔数+1=60，所以铅笔数=60-1=59。
答：这盒铅笔至少有59支。
例7 用长24厘米、宽18厘米的长方形地砖铺成一个正方形地面（使用整块地砖，不切割），正方形的边长最小是多少厘米？需要多少块地砖？
分析：
铺成正方形，正方形的边长必须是地砖长和宽的倍数，即边长是24和18的公倍数。
要求最小边长，就是求最小公倍数。
再计算需要的块数：正方形面积 ÷ 每块地砖面积。
解答：
第一步：求24和18的最小公倍数。
24=23×3,18=2×32
lcm(24,18)=23×32=8×9=72
所以正方形边长最小是72厘米。
第二步：计算需要的块数。
每块地砖面积 = 24 × 18 = 432（平方厘米）
正方形面积 = 72 × 72 = 5184（平方厘米）
块数 = 5184 ÷ 432 = 12（块）
答：正方形边长最小是72厘米，需要12块地砖。
例8 两个自然数的最大公因数是6，最小公倍数是72，求这两个数。
分析：
设这两个数为a和b，gcd=6，lcm=72。
由公式，a×b=6×72=432。
设a=6m，b=6n，其中m和n互质。
那么6m×6n=432，36mn=432，mn=432÷36=12。
找出所有互质的正整数对(m,n)，使得mn=12，再求出a、b。
解答：
第一步：设a=6m，b=6n，m、n互质。
由a×b=6×72=432，得36mn=432，mn=12。
第二步：12的互质因数对有：(1,12)、(3,4)、(4,3)、(12,1)。
第三步：求出对应的(a,b)。
(1,12) → a=6×1=6，b=6×12=72
(3,4) → a=6×3=18，b=6×4=24
(4,3) → a=24，b=18
(12,1) → a=72，b=6
所以这两个数是6和72，或18和24。
答：这两个数是6和72，或18和24。
【挑战篇】
例9 两个自然数的和是45，最小公倍数是168，求这两个数。
分析：
设这两个数为a和b，且a ≤ b。已知a + b = 45，lcm(a,b) = 168。
利用公式：a × b = gcd(a,b) × lcm(a,b) = gcd(a,b) × 168。
设gcd(a,b) = G，则a = G × m，b = G × n，其中m和n互质，且m ≤ n。
那么：
a + b = G(m + n) = 45
lcm(a,b) = G × m × n = 168
由G(m+n)=45可知，G是45的因数。45的因数有：1、3、5、9、15、45。
由G×m×n=168可知，G是168的因数。168的因数有：1、2、3、4、6、7、8、12、14、21、24、28、42、56、84、168。
G既是45的因数又是168的因数，所以G只能是1或3。
情况一：G = 1
则m + n = 45，m × n = 168。
两个互质的正整数，和为45，积为168。
168 = 8 × 21 = 12 × 14 = 7 × 24 = 6 × 28 = 4 × 42 = 3 × 56 = 2 × 84 = 1 × 168。
检查哪一对的和等于45：8+21=29，12+14=26，7+24=31，6+28=34，4+42=46，3+56=59，2+84=86，1+168=169。
没有和为45的。所以G=1不成立。
情况二：G = 3
则m + n = 45 ÷ 3 = 15，m × n = 168 ÷ 3 = 56。
两个互质的正整数，和为15，积为56。
56 = 7 × 8，7+8=15，且7和8互质。符合条件。
所以m = 7，n = 8（或m=8，n=7，但m≤n，取m=7，n=8）。
a = G × m = 3 × 7 = 21，b = G × n = 3 × 8 = 24。
答：这两个数是21和24。
例10 有三根绳子，长度分别是12米、18米、24米。要把它们截成同样长的小段，每段最长是多少米？一共可以截成多少段？
分析：
截成同样长的小段，每段的长度必须是12、18、24的公因数。
要求每段最长，就是求最大公因数。
再计算总段数：每根绳子的段数之和。
解答：
第一步：求12、18、24的最大公因数。
12=22×3,18=2×32,24=23×3
gcd(12,18,24)=2×3=6
所以每段最长是6米。
第二步：计算每根绳子的段数。
12米绳子可截：12 ÷ 6 = 2段
18米绳子可截：18 ÷ 6 = 3段
24米绳子可截：24 ÷ 6 = 4段
总段数 = 2 + 3 + 4 = 9段
答：每段最长6米，一共可截成9段。
例11 一个数被5除余3，被6除余4，被7除余5，这个数最小是多少？
分析：
被5除余3，即这个数+2能被5整除。
被6除余4，即这个数+2能被6整除。
被7除余5，即这个数+2能被7整除。
所以这个数+2是5、6、7的公倍数。
5、6、7的最小公倍数是210。
所以这个数最小是210-2=208。
解答：
第一步：观察余数，发现每个余数都比除数小2，所以这个数+2能被5、6、7整除。
第二步：求5、6、7的最小公倍数。
5=5，6=2×3，7=7，lcm=2×3×5×7=210。
第三步：这个数 = 210 - 2 = 208。
答：这个数最小是208。
例12 两个自然数的最大公因数是12，最小公倍数是180，这两个数的和最小是多少？
分析：
设这两个数为a=12m，b=12n，m、n互质。
则lcm=12mn=180，所以mn=180÷12=15。
m和n互质，且mn=15，可能的互质数对有：(1,15)、(3,5)、(5,3)、(15,1)。
对应的(a,b)为：(12,180)、(36,60)、(60,36)、(180,12)。
和分别为：12+180=192，36+60=96，60+36=96，180+12=192。
最小和为96。
答：这两个数的和最小是96。
三、方法总结
分解质因数法：求最大公因数和最小公倍数最基本的方法，务必熟练掌握。
公式法：a×b=gcd(a,b)×lcm(a,b)，已知其中三个可求第四个。
实际应用：
剪裁、铺砖、分堆、分段等问题 → 求最大公因数
周期、相遇、同时发生等问题 → 求最小公倍数
余数问题 → 转化为整除问题（加上或减去一个数）
设未知数法：当已知gcd和lcm时，设a=Gm，b=Gn（m、n互质），则lcm=Gmn。
互质条件：在设a=Gm，b=Gn时，m和n必须互质，否则G不是最大公因数。
四、习题精练
A组（基础训练）
求18和30的最大公因数和最小公倍数。
求24和36的最大公因数和最小公倍数。
用一张长30厘米，宽24厘米的长方形纸，剪成若干个面积相等的小正方形（无剩余），小正方形的边长最大是多少厘米？
甲、乙两人绕操场跑步，甲跑一圈要4分钟，乙跑一圈要6分钟。他们同时从起点出发，至少多少分钟后两人再次在起点相遇？
两个自然数的积是240，最小公倍数是60，求这两个数。
B组（提高训练）
两个自然数的最大公因数是8，最小公倍数是96，求这两个数。
一盒铅笔，平均分给5个小朋友多4支，分给6个小朋友多5支，分给7个小朋友多6支。这盒铅笔至少有多少支？
用长16厘米、宽12厘米的长方形地砖铺成一个正方形地面（使用整块地砖，不切割），正方形的边长最小是多少厘米？需要多少块地砖？
两个自然数的和是36，最小公倍数是105，求这两个数。
有三根绳子，长度分别是16米、24米、32米。要把它们截成同样长的小段，每段最长是多少米？一共可以截成多少段？
C组（挑战训练）
两个自然数的最大公因数是6，最小公倍数是180，求这两个数。
一个数被4除余2，被5除余3，被6除余4，这个数最小是多少？
两个自然数的积是108，最大公因数是6，求这两个数。
甲、乙、丙三人绕操场跑步，甲跑一圈要3分钟，乙跑一圈要4分钟，丙跑一圈要5分钟。他们同时从起点出发，至少多少分钟后三人再次在起点相遇？此时每人各跑了多少圈？
两个自然数的最大公因数是8，最小公倍数是240，这两个数的和最小是多少？
五、习题答案
A组答案
1. 求18和30的最大公因数和最小公倍数。
解答：
18=2×32,30=2×3×5
gcd=2×3=6,lcm=2×32×5=90
答：最大公因数是6，最小公倍数是90。
2. 求24和36的最大公因数和最小公倍数。
解答：
24=23×3,36=22×32
gcd=22×3=12,lcm=23×32=72
答：最大公因数是12，最小公倍数是72。
3. 用一张长30厘米，宽24厘米的长方形纸，剪成若干个面积相等的小正方形（无剩余），小正方形的边长最大是多少厘米？
解答：
30=2×3×5,24=23×3
gcd=2×3=6
答：小正方形的边长最大是6厘米。
4. 甲、乙两人绕操场跑步，甲跑一圈要4分钟，乙跑一圈要6分钟。他们同时从起点出发，至少多少分钟后两人再次在起点相遇？
解答：
4=22,6=2×3
lcm=22×3=12
答：至少12分钟后两人再次在起点相遇。
5. 两个自然数的积是240，最小公倍数是60，求这两个数。
解答：
gcd=240÷60=4
设a=4m，b=4n，m、n互质，则16mn=240，mn=15。
15的互质因数对：(1,15)、(3,5)。
所以(a,b)=(4,60)或(12,20)。
答：这两个数是4和60，或12和20。
B组答案
6. 两个自然数的最大公因数是8，最小公倍数是96，求这两个数。
解答：
设a=8m，b=8n，m、n互质，则lcm=8mn=96，mn=12。
12的互质因数对：(1,12)、(3,4)。
所以(a,b)=(8,96)或(24,32)。
答：这两个数是8和96，或24和32。
7. 一盒铅笔，平均分给5个小朋友多4支，分给6个小朋友多5支，分给7个小朋友多6支。这盒铅笔至少有多少支？
解答：
铅笔数+1能被5、6、7整除。
5、6、7的最小公倍数是210。
铅笔数=210-1=209。
答：至少有209支。
8. 用长16厘米、宽12厘米的长方形地砖铺成一个正方形地面（使用整块地砖，不切割），正方形的边长最小是多少厘米？需要多少块地砖？
解答：
16=24,12=22×3
lcm=24×3=48
正方形边长最小48厘米。
每块地砖面积=16×12=192平方厘米。
正方形面积=48×48=2304平方厘米。
块数=2304÷192=12块。
答：边长最小48厘米，需要12块地砖。
9. 两个自然数的和是36，最小公倍数是105，求这两个数。
解答：
105=3×5×7=15×7=21×5=35×3。
105的因数对有：(1,105)、(3,35)、(5,21)、(7,15)。
其中和为36的有：15+21=36。
所以这两个数是15和21。
答：这两个数是15和21。
10. 有三根绳子，长度分别是16米、24米、32米。要把它们截成同样长的小段，每段最长是多少米？一共可以截成多少段？
解答：
16=24,24=23×3,32=25
gcd=23=8
每段最长8米。
16÷8=2段，24÷8=3段，32÷8=4段，总段数=2+3+4=9段。
答：每段最长8米，一共可截成9段。
C组答案
11. 两个自然数的最大公因数是6，最小公倍数是180，求这两个数。
解答：
设a=6m，b=6n，m、n互质，则lcm=6mn=180，mn=30。
30的互质因数对：(1,30)、(2,15)、(3,10)、(5,6)。
所以(a,b)=(6,180)、(12,90)、(18,60)、(30,36)。
答：这两个数可能是(6,180)、(12,90)、(18,60)、(30,36)。
12. 一个数被4除余2，被5除余3，被6除余4，这个数最小是多少？
解答：
被4除余2，即这个数+2能被4整除。
被5除余3，即这个数+2能被5整除。
被6除余4，即这个数+2能被6整除。
所以这个数+2是4、5、6的公倍数。
4、5、6的最小公倍数是60。
这个数=60-2=58。
答：这个数最小是58。
13. 两个自然数的积是108，最大公因数是6，求这两个数。
解答：
设a=6m，b=6n，m、n互质，则36mn=108，mn=3。
3的互质因数对：(1,3)。
所以(a,b)=(6,18)。
答：这两个数是6和18。
14. 甲、乙、丙三人绕操场跑步，甲跑一圈要3分钟，乙跑一圈要4分钟，丙跑一圈要5分钟。他们同时从起点出发，至少多少分钟后三人再次在起点相遇？此时每人各跑了多少圈？
解答：
3、4、5的最小公倍数是60。
60分钟后三人再次在起点相遇。
甲跑60÷3=20圈，乙跑60÷4=15圈，丙跑60÷5=12圈。
答：至少60分钟后三人再次在起点相遇，此时甲跑了20圈，乙跑了15圈，丙跑了12圈。
15. 两个自然数的最大公因数是8，最小公倍数是240，这两个数的和最小是多少？
解答：
设a=8m，b=8n，m、n互质，则lcm=8mn=240，mn=30。
30的互质因数对：(1,30)、(2,15)、(3,10)、(5,6)。
对应的(a,b)：(8,240)、(16,120)、(24,80)、(40,48)。
和分别为：248、136、104、88。
最小和为88。
答：这两个数的和最小是88。