一、知识要点
类型一：和差问题
已知两个数的和与差，求这两个数。
理解：如果给小数加上差，它就变成大数，此时两个大数的和是和+差，所以大数=(和+差)÷2。
类型二：和倍问题
已知两个数的和以及它们的倍数关系，求这两个数。
理解：把小数看作1份，大数就是倍数份，总份数是(倍数+1)份，所以每份（小数）=和÷(倍数+1)。
类型三：差倍问题
已知两个数的差以及它们的倍数关系，求这两个数。
理解：把小数看作1份，大数就是倍数份，差对应(倍数-1)份，所以每份（小数）=差÷(倍数-1)。
解题关键
画线段图：把倍数关系用线段长度表示，非常直观
找“1份量”：在倍数问题中，先找出1份是多少
注意隐藏条件：有些问题不会直接给出和、差或倍数，需要先找出这些关系
二、例题精讲
【基础篇】
例1 两个数的和是180，差是40。这两个数各是多少？
分析：
题目告诉我们两个数相加等于180，相减等于40（大数减小数）。
我们可以用和差公式直接求解。
大数 = (和 + 差) ÷ 2，小数 = (和 - 差) ÷ 2。
解答：
第一步：求大数。
大数=(180+40)÷2=220÷2=110
第二步：求小数。
小数=(180−40)÷2=140÷2=70
答：这两个数是110和70。
例2 学校合唱队共有150人，其中男生人数是女生人数的2倍。男、女生各有多少人？
分析：
这是一个和倍问题。女生人数是1份，男生人数是2份，总人数就是1+2=3份。
总人数是150人，所以1份（女生人数）就是150 ÷ 3 = 50人。
男生人数就是50 × 2 = 100人。
解答：
第一步：把女生人数看作1份，则男生人数是2份，总份数是1+2=3份。
第二步：求1份是多少（女生人数）。
女生人数=150÷(2+1)=150÷3=50（人）
第三步：求男生人数。
男生人数=50×2=100（人）
答：男生100人，女生50人。
例3 爸爸的年龄是小明的5倍，爸爸比小明大32岁。小明和爸爸各多少岁？
分析：
这是一个差倍问题。小明的年龄是1份，爸爸的年龄是5份，爸爸比小明多5-1=4份。
这4份对应的实际年龄是32岁，所以1份（小明年龄）就是32 ÷ 4 = 8岁。
爸爸年龄就是8 × 5 = 40岁。
解答：
第一步：把小明的年龄看作1份，则爸爸的年龄是5份，爸爸比小明多5-1=4份。
第二步：求1份是多少（小明年龄）。
小明年龄=32÷(5−1)=32÷4=8（岁）
第三步：求爸爸年龄。
爸爸年龄=8×5=40（岁）
答：小明8岁，爸爸40岁。
【提高篇】
例4 甲、乙、丙三个数的和是240，甲是乙的3倍，乙是丙的2倍。求甲、乙、丙各是多少？
例5 被除数、除数、商三个数的和是143，已知商是3。求被除数和除数各是多少？
分析：
被除数 ÷ 除数 = 商 = 3，所以被除数 = 3 × 除数。
把除数看作1份，被除数就是3份。
三个数的和 = 除数 + 被除数 + 商 = 1份 + 3份 + 3 = 4份 + 3 = 143。
所以4份 = 143 - 3 = 140，1份 = 140 ÷ 4 = 35（这就是除数）。
被除数 = 35 × 3 = 105。
解答：
第一步：设除数为1份，则被除数为3份。
第二步：三个数的和 = 除数 + 被除数 + 商 = 1份 + 3份 + 3 = 4份 + 3 = 143。
第三步：求4份是多少。
4份=143−3=140
第四步：求1份（除数）。
除数=140÷4=35
第五步：求被除数。
被除数=35×3=105
答：被除数105，除数35。
例6 有两桶油，甲桶油的质量是乙桶油的1.2倍。如果从甲桶倒出4千克油给乙桶，两桶油就一样重。原来两桶油各有多少千克？
分析：
甲给乙4千克后相等，说明原来甲比乙多4 × 2 = 8千克。
甲是乙的1.2倍，所以甲比乙多的部分（0.2倍）对应8千克。
因此乙桶质量 = 8 ÷ (1.2 - 1) = 8 ÷ 0.2 = 40千克。
甲桶质量 = 40 × 1.2 = 48千克。
解答：
第一步：原来甲比乙多多少千克？
甲比乙多=4×2=8（千克）
第二步：乙桶的质量是多少？
乙桶=8÷(1.2−1)=8÷0.2=40（千克）
第三步：甲桶的质量是多少？
甲桶=40×1.2=48（千克）
答：原来甲桶48千克，乙桶40千克。
【挑战篇】
例7 有红、黄、蓝三种颜色的球，红球和黄球共28个，黄球和蓝球共26个，红球和蓝球共24个。三种球各有多少个？
分析：
题目给出了三个两两之和。把这三个和相加：
(红+黄) + (黄+蓝) + (红+蓝) = 2×(红+黄+蓝)
所以红+黄+蓝 = (28 + 26 + 24) ÷ 2 = 78 ÷ 2 = 39。
然后分别减去两两之和，就得到每种球的个数。
解答：
第一步：求三种球的总数。
红+黄+蓝=(28+26+24)÷2=78÷2=39
第二步：求蓝球个数（用总数减去红+黄）。
蓝球=39−28=11（个）
第三步：求红球个数（用总数减去黄+蓝）。
红球=39−26=13（个）
第四步：求黄球个数（用总数减去红+蓝）。
黄球=39−24=15（个）
答：红球13个，黄球15个，蓝球11个。
例8 甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才6岁。”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将51岁。”甲、乙现在各多少岁？
分析：
这是一个年龄问题，关键点是年龄差始终不变。
设甲、乙的年龄差为x岁。
根据第一句话：当甲的岁数是乙现在的岁数时，乙才6岁。也就是说，乙现在的年龄比6岁大x岁（因为从6岁到乙现在的年龄，乙长了x岁，同时甲也长了x岁，所以甲正好是乙现在的年龄）。所以乙现在 = 6 + x 岁。
甲现在 = 乙现在 + x = 6 + 2x 岁。
根据第二句话：当乙的岁数是甲现在的岁数时，甲将51岁。也就是说，从甲现在的年龄到51岁，又过了x年（因为乙要长到甲现在的年龄，需要x年，同时甲也长x岁）。所以甲现在 + x = 51，即 (6 + 2x) + x = 51。
解这个方程即可。
解答：
第一步：设甲、乙的年龄差为x岁。
根据第一句话，乙现在 = 6 + x 岁，甲现在 = (6 + x) + x = 6 + 2x 岁。
第二步：根据第二句话，当乙的岁数是甲现在的岁数时，甲将51岁，即：
(6+2x)+x=51
6+3x=51
3x=51−6=45
x=45÷3=15
第三步：求甲、乙现在的年龄。
乙现在=6+15=21（岁）甲现在=21+15=36（岁）
答：甲36岁，乙21岁。
三、方法总结
画线段图：倍数问题画线段图最直观，把1份量画成一段，倍数关系就清楚了。
找“1份量”：在倍数问题中，先找出1份是多少是关键。
和差问题：记住“大数=(和+差)÷2，小数=(和-差)÷2”。
三数和问题：如果知道两两之和，三数和 = (两两之和相加)÷2。
年龄问题：年龄差始终不变，这是解题的关键。
四、习题精练
A组（基础训练）
两个数的和是250，差是50，求这两个数。
学校买来足球和篮球共72个，足球的个数是篮球的5倍。足球和篮球各多少个？
果园里桃树比杏树多150棵，桃树的棵数是杏树的4倍。两种树各有多少棵？
甲、乙两数的和是240，甲数除以乙数的商是7，甲、乙两数各是多少？
两个数的和是120，差是30，求这两个数。
B组（提高训练）
甲、乙、丙三个数的和是300，甲是乙的2倍，丙是乙的3倍。求三个数各是多少。
被除数、除数、商和余数的和是151，商是5，余数是4。求被除数和除数。
有两根绳子，第一根长54米，第二根长36米。两根绳子剪去同样长的一段后，第一根剩下的长度是第二根剩下的3倍。剪去了多少米？
有甲、乙两桶油，甲桶油的质量是乙桶的1.5倍。如果从甲桶倒出5千克给乙桶，两桶油就一样重。原来两桶油各多少千克？
哥哥和弟弟共有邮票120张，哥哥给弟弟15张后，两人的邮票数相等。两人原来各有多少张？
C组（挑战训练）
有甲、乙、丙三个数，甲、乙的和是110，甲、丙的和是100，乙、丙的和是90。求甲、乙、丙各是多少。
小明和小红共有图书100本，如果小明给小红10本，小红的图书就是小明的4倍。两人原来各有多少本？
甲、乙、丙三人分苹果，甲分得的苹果是乙的3倍，丙分得的苹果是乙的2倍少5个，三人共分得55个。每人分得多少个？
父亲今年48岁，儿子今年12岁。多少年前，父亲的年龄是儿子的7倍？
有四个数，每次去掉一个数，求剩下三个数的平均数，得到四个结果：28、32、36、40。求这四个数各是多少？
五、习题答案
A组答案
1. 两个数的和是250，差是50，求这两个数。
分析：直接运用和差公式。
解答：
大数=(250+50)÷2=300÷2=150
小数=(250−50)÷2=200÷2=100
答：这两个数是150和100。
2. 学校买来足球和篮球共72个，足球的个数是篮球的5倍。足球和篮球各多少个？
分析：和倍问题。把篮球看作1份，足球就是5份，总份数6份对应72个。
解答：
篮球=72÷(5+1)=72÷6=12（个）
足球=12×5=60（个）
答：足球60个，篮球12个。
3. 果园里桃树比杏树多150棵，桃树的棵数是杏树的4倍。两种树各有多少棵？
分析：差倍问题。把杏树看作1份，桃树就是4份，桃树比杏树多3份，对应150棵。
解答：
杏树=150÷(4−1)=150÷3=50（棵）
桃树=50×4=200（棵）
答：桃树200棵，杏树50棵。
4. 甲、乙两数的和是240，甲数除以乙数的商是7，甲、乙两数各是多少？
分析：和倍问题。甲是乙的7倍，把乙看作1份，甲就是7份，总份数8份对应240。
解答：
乙=240÷(7+1)=240÷8=30
甲=30×7=210
答：甲是210，乙是30。
5. 两个数的和是120，差是30，求这两个数。
分析：直接运用和差公式。
解答：
大数=(120+30)÷2=150÷2=75
小数=(120−30)÷2=90÷2=45
答：这两个数是75和45。
B组答案
6. 甲、乙、丙三个数的和是300，甲是乙的2倍，丙是乙的3倍。求三个数各是多少。
分析：把乙看作1份，甲就是2份，丙就是3份，总份数1+2+3=6份对应300。
解答：
乙=300÷(1+2+3)=300÷6=50
甲=50×2=100
丙=50×3=150
答：甲100，乙50，丙150。
7. 被除数、除数、商和余数的和是151，商是5，余数是4。求被除数和除数。
分析：被除数 = 除数 × 商 + 余数 = 除数 × 5 + 4。
设除数为x，则被除数为5x+4。
它们的和：x + (5x+4) + 5 + 4 = 151。
化简：6x + 13 = 151，6x = 138，x = 23。
被除数 = 5×23+4 = 115+4 = 119。
解答：
第一步：设除数为x，则被除数为5x+4。
第二步：列方程：
x+(5x+4)+5+4=151
6x+13=151
6x=151−13=138
x=138÷6=23
第三步：求被除数：
被除数=5×23+4=115+4=119
答：被除数119，除数23。
8. 有两根绳子，第一根长54米，第二根长36米。两根绳子剪去同样长的一段后，第一根剩下的长度是第二根剩下的3倍。剪去了多少米？
分析：
第一根比第二根长54-36=18米。剪去同样长度后，长度差不变，仍然是18米。
剪完后，第一根是第二根的3倍，即第一根比第二根多2倍。
这2倍对应18米，所以第二根剩下18÷2=9米。
原来第二根36米，剪去了36-9=27米。
解答：
第一步：原来两绳长度差。
长度差=54−36=18（米）
第二步：剪去同样长度后，长度差不变。此时第一根是第二根的3倍，所以第一根比第二根多2倍，这2倍对应18米。
第二根剩下的长度=18÷(3−1)=18÷2=9（米）
第三步：剪去的长度。
剪去的长度=36−9=27（米）
答：剪去了27米。
9. 有甲、乙两桶油，甲桶油的质量是乙桶的1.5倍。如果从甲桶倒出5千克给乙桶，两桶油就一样重。原来两桶油各多少千克？
分析：
甲给乙5千克后相等，说明原来甲比乙多5×2=10千克。
甲是乙的1.5倍，即甲比乙多0.5倍，这0.5倍对应10千克。
所以乙桶质量 = 10 ÷ 0.5 = 20千克，甲桶 = 20 × 1.5 = 30千克。
解答：
第一步：原来甲比乙多多少千克？
甲比乙多=5×2=10（千克）
第二步：乙桶质量。
乙桶=10÷(1.5−1)=10÷0.5=20（千克）
第三步：甲桶质量。
甲桶=20×1.5=30（千克）
答：原来甲桶30千克，乙桶20千克。
10. 哥哥和弟弟共有邮票120张，哥哥给弟弟15张后，两人的邮票数相等。两人原来各有多少张？
分析：
哥哥给弟弟15张后相等，说明原来哥哥比弟弟多15×2=30张。
已知和是120，差是30，用和差公式。
解答：
第一步：原来哥哥比弟弟多多少张？
哥哥比弟弟多=15×2=30（张）
第二步：求哥哥原来的张数。
哥哥=(120+30)÷2=150÷2=75（张）
第三步：求弟弟原来的张数。
弟弟=(120−30)÷2=90÷2=45（张）
答：哥哥原来有75张，弟弟原来有45张。
C组答案
11. 有甲、乙、丙三个数，甲、乙的和是110，甲、丙的和是100，乙、丙的和是90。求甲、乙、丙各是多少。
分析：
三个两两之和相加得到2倍的三个数之和。
三个数之和 = (110 + 100 + 90) ÷ 2 = 300 ÷ 2 = 150。
然后分别减去两两之和得到每个数。
解答：
第一步：求三个数的和。
甲+乙+丙=(110+100+90)÷2=300÷2=150
第二步：求丙（用总数减去甲+乙）。
丙=150−110=40
第三步：求乙（用总数减去甲+丙）。
乙=150−100=50
第四步：求甲（用总数减去乙+丙）。
甲=150−90=60
答：甲60，乙50，丙40。
12. 小明和小红共有图书100本，如果小明给小红10本，小红的图书就是小明的4倍。两人原来各有多少本？
分析：
小明给小红10本后，总数不变，还是100本。此时小红是小明的4倍，所以此时小明有100 ÷ (4+1) = 20本，小红有80本。
原来小明有20 + 10 = 30本，小红有80 - 10 = 70本。
解答：
第一步：小明给小红10本后，两人的图书总数仍是100本。此时小红是小明的4倍，所以小明有：
此时小明=100÷(4+1)=100÷5=20（本）
第二步：原来小明有多少本？
原来小明=20+10=30（本）
第三步：原来小红有多少本？
原来小红=100−30=70（本）
答：小明原来有30本，小红原来有70本。
13. 甲、乙、丙三人分苹果，甲分得的苹果是乙的3倍，丙分得的苹果是乙的2倍少5个，三人共分得55个。每人分得多少个？
分析：
设乙分得x个，则甲分得3x个，丙分得(2x-5)个。
三人总和：x + 3x + (2x-5) = 55。
化简：6x - 5 = 55，6x = 60，x = 10。
所以乙10个，甲30个，丙15个。
解答：
第一步：设乙分得x个。
则甲分得3x个，丙分得2x-5个。
第二步：列方程：
x+3x+(2x−5)=55
6x−5=55
6x=60
x=10
第三步：求甲、丙。
甲=3×10=30（个）
丙=2×10−5=20−5=15（个）
答：甲分得30个，乙分得10个，丙分得15个。
14. 父亲今年48岁，儿子今年12岁。多少年前，父亲的年龄是儿子的7倍？
分析：
设x年前，父亲的年龄是儿子的7倍。
x年前，父亲年龄为48-x，儿子年龄为12-x。
根据题意：48-x = 7(12-x)。
解答：
第一步：设x年前，父亲的年龄是儿子的7倍。
列方程：
48−x=7(12−x)
第二步：展开右边。
48−x=84−7x
第三步：移项，将含x的项移到左边，常数项移到右边。
−x+7x=84−48
6x=36
x=36÷6=6
答：6年前，父亲的年龄是儿子的7倍。
15. 有四个数，每次去掉一个数，求剩下三个数的平均数，得到四个结果：28、32、36、40。求这四个数各是多少？
分析：
设四个数为a、b、c、d。
去掉a后，剩下b、c、d的平均数是28，所以b+c+d=28×3=84。
去掉b后，剩下a、c、d的平均数是32，所以a+c+d=32×3=96。
去掉c后，剩下a、b、d的平均数是36，所以a+b+d=36×3=108。
去掉d后，剩下a、b、c的平均数是40，所以a+b+c=40×3=120。
把这四个等式相加：
左边：(b+c+d)+(a+c+d)+(a+b+d)+(a+b+c)=3(a+b+c+d)
右边：84+96+108+120=408
所以a+b+c+d=408÷3=136。
然后分别减去每个等式，得到每个数。
解答：
第一步：根据题意列式。
b+c+d=28×3=84
a+c+d=32×3=96
a+b+d=36×3=108
a+b+c=40×3=120
第二步：四个式子相加。
(b+c+d)+(a+c+d)+(a+b+d)+(a+b+c)=84+96+108+120=408
左边有3个a、3个b、3个c、3个d，所以：
3(a+b+c+d)=408
a+b+c+d=408÷3=136
第三步：求每个数。
a=(a+b+c+d)−(b+c+d)=136−84=52
b=136−96=40
c=136−108=28
d=136−120=16
答：这四个数分别是52、40、28、16。